Imagem de Cientistas

fevereiro 2, 2015fevereiro 11, 2015Renji Deixe um comentário

Imagem de Cientistas, quantos deles consegue descobrir?

marlombrandos

miguel

meww

joao

Média aritmética e Média geométrica

julho 16, 2014julho 16, 2014Renji Deixe um comentário

Vamos provar aqui a desigualdade entre as médias aritmética $\sum\limits^n_{k=1} \frac{a_k}{n},$ e a média geométrica $(\prod\limits^n_{k=1} a_k )^{\frac{1}{n}},$ onde $(a_1, \cdots, a_n)$ é uma sequência de números não-negativos. Inicialmente iremos demonstrar um lema, do qual iremos concluir a desigualdade das médias citada, $\sum\limits^n_{k=1} \frac{a_k}{n}\geq (\prod\limits^n_{k=1} a_k )^{\frac{1}{n}}.$

Texto associado :

►(17)Desigualdades

https://www.dropbox.com/s/g11y9wndjhjaj1q/desigualdades.pdf

Pontuação do jogo das questões

abril 11, 2014abril 11, 2014Renji Deixe um comentário

Pontuação do jogo

●๋•O primeiro número são pontos para gastar ( podem ser gastos no jogo , então esse número pode diminuir ou aumentar) todos tem um bônus de +20 nesse número.

●๋•O segundo é pontuação do Ranking, esse número não pode abaixar, só aumentar.

► Ivo terek 25|5
1 questão de somatório .

► Felipe Diniz 25|5
1 questão de somatório .

► Tiago Vital 25|5
1 questão de somatório
►José Siqueira 30|10

►Jonas Renan 6|26
► Dani Cirineo 25|5 .

Jogos especiais:

Renji’s Quizz I

-Breo japouk 9 pontos .
-Miquei mause 6 pontos .
-Diogenes Mota 16 pontos .
-Victor Villas Bôas chaves 7 pontos .
-Vincent Boff 3 pontos .
-Narcélio 3 pontos
-Robyson Aggio Franciéle Retslaff 4 pontos.
-Matheus Almeida 3 pontos .
-Raphael Aureliano 3 pontos
– Dantas Pereira 3 pontos .
-Maycon Cruz 3 pontos
-Diego Tartaglia 3 pontos .

Renji’s Quizz II
Cássio Henrique Vieira Morais 7
Edmarcos Jordão 2
Tiago Camargo Godoi Bueno 2

Soma telescópica Básica

março 19, 2014março 19, 2014Renji Deixe um comentário

A soma telescópica diz que

$f(2)-f(1)+ f(3)-f(2) +\cdots +f(n+1)-f(n)$
$= f(n+1)-f(1) ,$

com a notação de somatório podemos escrever tal propriedade como

$\sum\limits^{n}_{k=1}[f(k+1)-f(k)]= f(n+1)-f(1)$

Demonstração

A demonstração pode ser simples de entender , basta ver que termos se anulam conforme somamos

$f{\not}(2)-f(1)$
$f{\not}(3)-f{\not}(2)$
$f{\not}(4)-f{\not}(3)$
$\;\;\; \vdots\;\;\; \vdots \;\;\;\vdots\;\; \vdots \;\; \vdots \;\; \vdots$
$f{\not}(n-1)+f {\not}(n)$
$f(n+1)-f{\not}(n)$

$= f(n+1)-f(1) .$

Onde os termos ~~riscados~~ se anulam, pois somamos e subtraímos o mesmo valor, sendo os únicos que não se anulam , os termos $f(1)$ e $f(n+1)$ .

Exemplo
Vejamos um exemplo básico de aplicação .

Calcule fórmula para a soma

$2^0+2^1+ \cdots 2^n .$

Sabemos que $2^{k+1}-2^k =2^k (2-1)=2^k$ , por isso podemos aplicar a fórmula da soma telescópica somando $2^{k+1}-2^k$ que é da forma que desejamos $f(k+1)-f(k)$ com $f(k)=2^k$ , então segue da soma telescópica que

$2^0+2^1+ \cdots 2^n =2^{n+1}-2^0 = 2^{n+1}-1 .$

Material para consulta
Para teoria de soma recomendamos o vídeo do canal F.M

e os textos para aprofundamento

►Somatórios

►(9.1)texto I Definição, números de Euler, bernoulli, stirling

Clique para acessar o sum1-def-bern-euler-inter-stir.pdf

►(9.2) Texto 2 soma de polinomios ( vários fórmulas), inversos, soma harmonica, soma usando função gamma

Clique para acessar o sum2-poli-inver-harm-gamma.pdf

►(9.3)Texto 3 Soma por partes (parecida com integração por partes), soma com fatorial, números harmônicos, técnica de perturbação da soma

Clique para acessar o sum3-partes-fato-harmo.pdf

►(9.4)Texto 4 soma e integral, truque de gauss, soma usando derivada, soma pelo metodo da função indeterminada

Clique para acessar o sum4-inte-gaus-deri-indet.pdf

►(9.5) texto 5 desigualdades, função beta, função piso

Clique para acessar o sum5-confin-beta-piso-desi.pdf

►(9.6) Texto 6 soma de binomiais

Clique para acessar o sum6-binomiais.pdf

►(9.7) Texto 7 soma de trigonométricos

Clique para acessar o sum7-trigonometricos.pdf

►(9.8)Texto 8 soma usando combinatória

Clique para acessar o sum8-combinatoria-divi.pdf

►(9.9) Texto 10 somas e produtos vazios

Clique para acessar o su10-somaprodutovazio.pdf

►(9.10 )Texto 11 Extensão do conceito de somatório e produtório .

Clique para acessar o sum11-extensaoconceito.pdf

Postagens fixas do grupo no facebook.

junho 30, 2012agosto 9, 2012Renji Deixe um comentário

O que está ouvindo agora?
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/386236418087128/

Pensamentos aleatórios ( um tipo de bate papo )
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/380352052008898/

Regras do jogo das questões
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/380364832007620/

Pontuação do jogo
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/381423808568389/

Divulgação de textos
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/380360625341374/

O que está lendo agora?
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/385489258161844/

Latex no navegador
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/399634826747287/

Pensamentos aleatórios sobre teoria dos números
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/415975598446543/

Tópicos fixos
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/424447657599337/

Post de divulgação de material no Rumo ao Ita, comunidade no facebook

http://www.facebook.com/groups/rumoaoita/permalink/200453183414803/

http://www.facebook.com/groups/rumoaoita/permalink/210168555776599/

símbolos

http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/429936753717094/

Reconhecendo imagens, dicas

http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/430563040321132/

monitor do jogo das questões
http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/423981704312599/

http://www.facebook.com/groups/261270077250430/permalink/430585760318860/

Regras e monitores do Jogo Wanted

junho 30, 2012junho 30, 2012Renji Deixe um comentário

Nessa postagem vamos deixar algumas regras e nome dos monitores do jogo Wanted.

Monitores são as pessoas que podem postar questões para o jogo valendo ponto.

Monitores
Lucas Garcia Garcia Gomes
Alexandre Cezar
Jailton Nascimento
Luiz Ernesto Alves.
Breo J’apouk
Frank Wan
Victor Villas Bôas chaves

Regras

●๋•O jogo consiste em questões que serão postadas aqui na comunidade, as questões são separadas por dificuldade e valem pontos, no seguinte esquema

-Fácil 2 pontos até 10

-Média 10 pontos até 50

-Difícil 50 pontos em diante

essas pontuações acima são apenas sugestões, outros tipos de pontuações podem ser dadas.

●๋•Qualquer participante pode propor uma questão, desde que saiba resolver e ela seja aceita para o jogo (por mim ou outro responsável pelo jogo). A pessoa que propõe a questão ganha 1 ponto se sua questão é aceita e a quantidade de pontos da questão tem que ser combinada.

A quantidade de pontos no jogo de uma pessoa pode fazer com que ela venha a aumentar seu nível dentre dele, na seguinte tabela

Nível\ pontos
2\10
3\50
4\100
6\200
6\300
7\500
8\700
9\900
10\1100

Entre 10 e 20 , cada nível 400 , entre 20 e 30 + 600, e assim por diante (+200 para cada intervalo de comprimento 10)

●๋• Para propor uma questão é necessário saber sua solução!

●๋•Nenhum membro da comunidade é obrigado a participar, a participação é livre!

●๋• Regras podem ser adicionadas, retiradas ou mudadas com o tempo e aceitamos sugestões.

●๋• Se houver mais de uma solução para um problema, novas soluções ( distintas) também garantem os pontos na questão . A mesma pessoa pode postar várias soluções diferentes, nesse caso ela ganha n . (pontos da questão), onde “n” é o número de soluções que a pessoa fornecer para o problema

●๋•criatividade

Pontos especiais para questões resolvidas de maneira considerada criativa.

●๋• Os tópicos que tiverem conteúdo de física\ matemática , e forem considerados interessantes por algum moderador ganham uma pontuação fixa, simbólica, para o “jogo” da comunidade.

A pontuação dada por esses tópicos ou posts é de 6 pontos.

Post menores ou resposta em tópicos criados por outros ( como responder dúvidas rápidas), podem conceder 1 ponto.

●๋•Incentivo simbólico a criação e divulgação de textos gratuitos:

Cada participante que disponibilizar um texto gratuito com pelo menos 3 páginas, sendo o participante autor do próprio texto, ganha 10 pontos.

●๋•Questões relâmpago .

São questões que são colocadas com limite máximo de tempo para solução , só sendo aceitas questões resolvidas no limite determinado e não depois .

Os pontos podem ser um bônus especial, a mais do que seriam dados normalmente para a solução em condições normais .

●๋•Pontuação total e pontuação atual

Cada participante do jogo terá uma pontuação total ( quantidade total de pontos recebidas até o momento) e pontuação atual, corrente (que pode diminuir), serão criadas maneiras de se gastar esses pontos.

●๋•’Mercado de questões’

Se uma pessoa tem uma questão e entende sua solução, ela pode propor explicar a questão (valendo uma certa quantidade de pontos). A quantidade cobrada por cada questão depende de quem propõe e é livre, não precisando de aprovação dos moderadores.

O usuário que quiser “comprar” a solução gasta uma quantidade de pontos da sua pontuação atual e o que propôs a questão explica a questão. Quem explica a questão ganha a quantidade de pontos que cobrou pela questão e quem ‘comprou’ a questão gasta tal quantidade.

As questões ‘normais’ do jogo, propostas, que garantem pontuação para quem as resolver também podem ser ‘compradas’, sendo que seu ‘preço’ é igual a pontuação que daria para quem a resolvesse corretamente.

A ‘venda’ de questões não cria pontos no jogo, apenas realoca a quantidade já presente.

A cada 5 questões ensinadas o usuário que as ensino ganha +10 pontos no jogo e a quantidade de questões ensinadas é contada.

São criados mais dois tópicos:
1)Um tópico para guardar as questões e seus ‘preços’ (sendo um tópico pessoal, um por pessoa)
2) Outro tópico para o ensino da solução dessas questões, quando o pedido for solicitado.

●๋•’Troca de questões

Usuário também podem trocar soluções de questões, como por exemplo
o usuário x sabe uma questão x’ o usuário y sabe uma questão y’, x gostaria de saber y’ e y gostaria de saber x’, então podem trocar as soluções, ou trocar as soluções e ainda pedir alguma quantidade de pontos.

●๋•’Novas pontuações

Além da pontuação normal dada uma questão, poderemos adicionar pontos extras conforme a avaliação pessoal das questões, nos seguintes quesitos

●๋•’*Originalidade:
Uma solução considerada original, que a pessoa que propôs a questão não tinha visto ainda.

●๋•’*Generalidade:
Se a solução dada abrange outros casos ou é usada alguma técnica que pode resolver vários tipos de problemas similares.

●๋•’*Simplicidade:
Se a solução dada usa técnicas mais básicas e pode ser de mais fácil entendimento.

●๋•’*Elegância:
Se a pessoa que propôs a questão considerou a solução bela ou elegante.

A pontuação nesses quesitos sendo considerada subjetiva, e variando de 0 até 5.

●๋•Pontuação como número decimal
A pontuação agora pode ser um número decimal, por exemplo, 0,1, 3,879, etcPontuação atual inicial

●๋•Os participantes ganham uma quantidade inicial de 20 pontos para a pontuação atual, principalmente para aqueles que ainda não responderam questões no jogo mas gostariam de participar.

●๋•Comprando dicas

Fica aberta a possibilidade de ‘comprar’ dicas para solução de uma questão. O valo da dica é decidido por quem propõe a questão.

A pontuação do jogo fica em um arquivohttp://dl.dropbox.com/u/21174119/Jogo%20wanted%20e%20revista%20FM/Pontua%C3%A7%C3%A3o%20do%20jogo%20wanted.xls

O curso de matemática

maio 21, 2012junho 28, 2012Renji Deixe um comentário

Olá pessoal, deixo um texto com dicas sobre o curso de matemática e um video.

Texto para download com as dicas (aqui no blog deixarei apenas link do material gratuito, no texto para download abaixo temos dicas sobre livros que podem ser comprados)

https://www.dropbox.com/s/z5tn1ijgs8ak97t/dicas.pdf

Agora vamos aos links de material gratuito

Textos de Katia Frensel e Jorge Delgado da UFF

Geometria analítica plana
http://www.4shared.com/folder/qwDCbUtG/goemetria_analitica_i_vetorial.html

Geometria analítica espacial

http://www.4shared.com/folder/n9sW5M0T/geometria_analitica_espacial.html

Álgebra linear (Textos da professora Maria Lúcia Villela da UFF)

A primeira parte de um curso de álgebra linear
alglinear 1-mod1-Matrizes e sistemas lineares
https://www.dropbox.com/s/avjvj3ht10o6dr9/alglinear1-mod1.pdf
alglinear 1-mod2-Espaços vetoriais Reais
https://www.dropbox.com/s/92k22yzxwhy8m1k/alglinear1-mod2.pdf
alglinear 1-mod3-A álgebra das transformações lineares
https://www.dropbox.com/s/jndjy5nae7wtq8s/alglinear1-mod3.pdf

a segunda parte de um curso de álgebra linear

alglinear 2-mod1 Determinantes por permutações
https://www.dropbox.com/s/5cfxknis7lj1z4r/alglinear2-mod1.pdf
alglinear 2-mod1-2 Determinantes por indução
https://www.dropbox.com/s/z5re5wmulxx721o/alglinear2-mod1-2.pdf
alglinear 2-mod2 Autovalores e autovetores
https://www.dropbox.com/s/mhw77m940994vzj/alglinear2-mod2.pdf
alglinear 2-mod3 Espaços vetoriais com produto interno.
https://www.dropbox.com/s/2ko2hevqww0s5vy/alglinear2-mod3.pdf

Os textos possuem exercícios, considero uma boa didática.

Textos na pasta
http://www.4shared.com/dir/u4Bn_60U/algebra_linear.html

Álgebra Linear de Kátia Frensel e Jorge Delgado
http://dl.dropbox.com/u/21174119/algebra%20linear/alglin.pdf

Análise Real
Pasta com textos de análise real
http://www.4shared.com/dir/DUFycJpW/Anlise_real.html
Por enquanto deixei pra download o texto da Kátia Frensel -UFF( texto bem parecido com o do Elon, com algumas coisas diferentes, mais imagens etc)
Outra apostila do Cássio neri-UFRJ.

Algumas soluções do livro de análise do Elon

http://dl.dropbox.com/u/21174119/elon/solucoeselon.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/elon/solucoeselon2.pdf

Textos de análise no R^n de kátia Frensel e Jorge Delgado

http://dl.dropbox.com/u/21174119/analise%20rn/capitulo1-arn.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/analise%20rn/capitulo2-arn.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/analise%20rn/capitulo3-arn.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/analise%20rn/capitulo4-arn.pdf

Álgebra abstrata

Textos gratuitos de álgebra abstrata da professora Maria Lúcia villela da UFF-RJ

Conceitos básicos
algebra 1-mod1-Conjuntos, funções e relações de equivalência
https://www.dropbox.com/s/uyhpm8ipnlnw62x/algebra1-mod1.pdf
algebra 1-mod2-Anéis, indução.
https://www.dropbox.com/s/bo4biza6eo5mj1n/algebra1-mod2.pdf
algebra 1-mod3-Domínios principais, divisibilidade, ideais, mdc, congruência.
https://www.dropbox.com/s/r1plhlpyycr2wy7/algebra1-mod3.pdf
Teoria dos grupos
grupos -mod1 -Teorema de Lagrange, diedrais, homomorfismo, $s_n$
https://www.dropbox.com/s/1ieqqd4hnc4cdnh/grupos-mod1.pdf
Grupos-mod2 – Normal e quociente, teorema se sylow
https://www.dropbox.com/s/zhxn8p9qe30jdio/grupos-mod2.pdf

Extensões de corpos e teoria de Galois
Corpos- mod1-Extensões de corpos
https://www.dropbox.com/s/3jkkyop9wytj2i1/corpos-mod1.pdf
Corpos- mod 2 Teoria de Galois
https://www.dropbox.com/s/blcval6b0fafa0z/corpos-mod2.pdf

Polinômios
Polinomios- mod1- Números complexos
https://www.dropbox.com/s/9qz09s6sluxo42d/polinomios-mod1.pdf
Polinomios- mod 2-Polinômios sobre domínios e corpos
https://www.dropbox.com/s/fvh0sogjhtdiw1k/polinomios-mod2.pdf

Os textos possuem exercícios, considero uma boa didática[2]

Textos na pasta-
http://www.4shared.com/dir/ckCprv8t/algebra.html

Geometria diferencial

Textos de geometria diferencial do professor Jorge Delgado .

http://dl.dropbox.com/u/21174119/geometria%20diferencial/capitulo1-geodif1.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/geometria%20diferencial/capitulo2-geodif1.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/geometria%20diferencial/capitulo3-geodif1.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/geometria%20diferencial/capitulo4-geodif1.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/geometria%20diferencial/capitulo5-geodif1.pdf

http://dl.dropbox.com/u/21174119/geometria%20diferencial/apendices-geodif1.pdf
http://dl.dropbox.com/u/21174119/geometria%20diferencial/capitulo1-geodif1.pdf

Probabilidade e estatística

http://www.4shared.com/dir/cy5JIzcy/probabilidade.html

Pasta no 4shared com apostilas e texto gratuitos (LEGAIS) sobre probabilidade.
Por enquanto deixei uma pasta com textos da professora Ana Maria Lima de farias, da UFF, gostei do texto dela. Introdução a probabilidade, variáveis discretas e contínuas na pasta.

http://www.professores.uff.br/anafarias/materialdidatico.html
.
Site com material didático da professora ana maria farias da UFF

recomendo muito! acho um material bem didático, exercícios resolvidos
explicação clara e teoria com detalhes.

Soma de potências

fevereiro 26, 2012Renji Deixe um comentário

Somando frações

fevereiro 15, 2012Renji Deixe um comentário

Nesse post vamos dar exemplos de somas de frações e deduzir uma expressão para soma de duas frações

Vale que

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$

vamos demonstrar essa identidade, sabendo somar frações com mesmo denominador

escrevemos $\frac{a}{b} =\frac{a d}{b d}$ e $\frac{c}{d}=\frac{b c}{b d}$ agora ambas frações tem o mesmo denominador e podemos somar

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d} =\frac{da}{db} +\frac{bc}{bd} =\frac{ad+cb}{bd}$

o que demonstra o resultado.

Como exemplo, vamos calcular

$\frac{1}{y}+ \frac{1}{10}$ .

Usando a expressão $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$ temos

$\frac{1}{y}+ \frac{1}{10}= \frac{10+y}{10 y}$ .

Enumerando os racionais.

fevereiro 11, 2012fevereiro 14, 2012Renji 1 comentário

Nesta postagem vamos apresentar uma maneira de enumerar os racionais e os racionais positivos.

Para deduzir as expressões, podemos fazer o seguinte: Primeiro, interpolamos a posição dos números inteiros que aparecem na sequência.

Segundo, a partir desse inteiro vá formando as frações somando $1$ no denominador e retirando um do denominador até chegar ao inverso do número da primeira fileira, quando chegar nele , pule para o próximo inteiro.

Podemos enumerar os racionais positivos com a seguinte função $f:N \rightarrow Q$ com

$f(1+{n \choose 2}+k)=\frac{n-k}{k+1}$

com $k=0$ até $k=n-1$ . Em especial tomando $n-k=p$ e $k+1=q$ temos

$f(q+ \frac{(p+q-1)(p+q-2)}{2})= \frac{p}{q}$ .

Podemos enumerar todos racionais, com a seguinte função $g:N \rightarrow Q$ dada por
$g(1)=0$ ,
$g(2+2{n \choose 2}+k)=\frac{n-k}{k+1}$ $k=0$ até $k=n-1$ e
$g(2+2{n \choose 2}+k+n)=-\frac{n-k}{k+1}\; k=0$ até $k=n-1.$

Tais funções não são injetivas, porém são sobrejetivas, logo temos bijeção de um subconjunto de $N$ em $Q$ , o que implica $Q$ ser enumerável.

Demonstrações indiretas de que Q é enumerável.

1-Usando que a união enumerável de conjuntos enumeráveis gera um conjunto enumerável.

$Q$ é enumerável, pois podemos definir $A_n=\{\frac{x}{n}, x \in N\}$ (para $n \in N$ fixo) que é enumerável, daí os racionais positivos podem ser escritos como a união
$Q^+=\bigcup^{\infty}_{k=1}A_k$
da mesma forma $B_n=\{\frac{-x}{n}, x \in N\}$ , logo os racionais negativos são enumeráveis pois
$Q^-=\bigcup^{\infty}_{k=1}B_k$
e os racionais são enumeráveis pois $Q=Q^- \cup \{0\} \cup Q^+ .$

2- Usando que o produto cartesiano finito de enumeráveis é enumerável.

O conjunto dos números racionais $Q$ é enumerável pois $Z\times Z^*$ é enumerável e a função $f:Z \times Z^*\rightarrow Q$ dada por $f(m,n)=\frac{m}{n}$ é sobrejetiva. Lembre que Z é enumerável.

Para mais informação

Veja um texto sobre conjuntos enumeráveis
Conjuntos enumeráveis
http://www.4shared.com/dir/zK4TpGSd/enumeraveis.html

Ou indicações de outros textos na postagem

Link

Matemática pura e aplicada

Divulgação de Física e Matemática.

Autor: Renji